完全平方数

描述

给你一个整数 n ，返回 和为 n 的完全平方数的最少数量 。

完全平方数 是一个整数，其值等于另一个整数的平方；换句话说，其值等于一个整数自乘的积。例如，1、4、9 和 16 都是完全平方数，而 3 和 11 不是。

示例 1：

输入：n = 12
输出：3
解释：12 = 4 + 4 + 4
示例 2：

输入：n = 13
输出：2
解释：13 = 4 + 9

提示：

1 <= n <= 104

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode.cn/problems/perfect-squares
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题解

使用动态规划。

dp[i] 表示数字 i 可以分解成的最少的完美平方数。

初始化时,dp[i]=i,表示直接分配 i 个 1 的情况。

然后,遍历每个可能的完美平方数 j^2,尝试使用 j^2 分解当前数字 i,dp[i] 即为每个可能的分解方案中最小值。

举个例子,对于数字 12:

• 初始 dp[12]=12
• 当 j=1 时,可以使用 1^2 分解为 dp[12-1^2] + 1 = dp[11] + 1 = 11 + 1 = 12,记录当前最优值 12
• 当 j=2 时,可以使用 2^2 分解为 dp[12-4] + 1 = dp[8] + 1 = 3 + 1 = 4,更新最优值至 4

最后返回 dp[n] 即为结果。

时间复杂度:O(n*sqrt(n)),外循环 n 次,内循环 sqrt(n) 次。
空间复杂度:O(n),使用了长度为 n 的 dp 数组。

C++代码

class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        vector<int> dp(n + 1);  
        // 用 dp[i] 存储对 i 进行完美平方分割需要的最少平方数
        
        dp[0] = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) { 
            dp[i] = i; // dp 初始化时,初始值设为 i,即直接分配 i 个 1
            for (int j = 1; j * j <= i; j++) {
                // 尝试使用每个小于等于 sqrt(i) 的完美平方数 j^2 分割 i
                dp[i] = min(dp[i], dp[i - j * j] + 1); 
            }
        }
        return dp[n];
    }
};