打家劫舍

描述

你是一个专业的小偷，计划偷窃沿街的房屋。每间房内都藏有一定的现金，影响你偷窃的唯一制约因素就是相邻的房屋装有相互连通的防盗系统，如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入，系统会自动报警。

给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组，计算你 不触动警报装置的情况下 ，一夜之内能够偷窃到的最高金额。

示例 1：

输入：[1,2,3,1]
输出：4
解释：偷窃 1 号房屋 (金额 = 1) ，然后偷窃 3 号房屋 (金额 = 3)。
偷窃到的最高金额 = 1 + 3 = 4 。
示例 2：

输入：[2,7,9,3,1]
输出：12
解释：偷窃 1 号房屋 (金额 = 2), 偷窃 3 号房屋 (金额 = 9)，接着偷窃 5 号房屋 (金额 = 1)。
偷窃到的最高金额 = 2 + 9 + 1 = 12 。

提示：

1 <= nums.length <= 100
0 <= nums[i] <= 400

来源：力扣（LeetCode）
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题解

1. 采用动态规划,找出一个最优子结构。
2. 设 dp[i] 表示抢劫前 i 家房屋可以获得的最高收益。
3. 我们可以抢劫第 i 家房屋,或不抢劫第 i 家房屋。
4. 抢劫第 i 家房屋,那么 dp[i] = nums[i] + dp[i-2] ,表示加上第 i 家的收益,同时抢劫 i-2 家房屋。
5. 不抢劫第 i 家房屋,那么 dp[i] = dp[i-1]。
6. 综上,转移方程为:

dp[i] = max(nums[i] + dp[i-2], dp[i-1])

1. 边界情况有:dp[-1] = dp[0] = 0。
2. 最后返回 dp[n-1] 即为答案。

C++代码

class Solution {
public:
    int rob(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        
        // 初始化 dp 数组
        vector<int> dp(n, 0);
        dp[0] = nums[0];
        if (n == 1) return dp[0];
        dp[1] = max(nums[0], nums[1]);
        
        for (int i = 2; i < n; i++) {
            dp[i] = max(nums[i] + dp[i-2], dp[i-1]);
        }  
        return dp[n-1];     
    }
};

时间复杂度 O(n) ,空间复杂度 O(n)。